O CÁLCULO

História

A história do cálculo encaixa-se em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna.

Antiguidade

Na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscou (1850 A.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustumpiramidal. Eudoxo de Cnido, ou Eudoxus, (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia além, inventando aheurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto naChina por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.

Idade Média

Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C.expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencialbásica. Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle".

No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada depolinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV,Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

Idade Moderna

Na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII noJapão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, a notação de Leibniz. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou ideias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos".

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo.

Idade contemporânea

Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaçoeuclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral. É dela também a autoria da chamada "curva de Agnesi".

A BELEZA ÁUREA (DIVINA PROPORÇÃO)

Por Fernando Rebouças

Segundo Kepler, a geometria possui dois tesouros, um é o Teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão de um segmento em média e extrema razão. Esta matemática teria influenciado nos cálculos das obras e referências mais perfeitas da humanidade.

A matemática responde pelo perfeccionismo das pinturas renascentista, pelas obras arquitetônicas da Antiguidade e até pelas conchas presentes nos seres marinhos. Há mais de 2.500 anos iniciou-se através da Razão Áurea, os estudos a respeito da harmonia simétrica em dividir um segmento em duas partes.

O Renascimento teria se inspirado no número “Phi” ( letra grega: Φ ), que na matemática pitagórica equivale à proporção de 1618:1. Esta visão matemática de proporção foi muito perseguida naquela época.

Desde os tempos da Grécia antiga, defendia-se que todo o mundo e cosmo era composto pelos quatro elementos da natureza : ar, água, terra e fogo, que seriam similares aos quatro sólidos geométricos perfeitos determinados pela sociedade pitagórica. Os quatro sólidos geométricos perfeitos eram : tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro.

A razão áurea  era relacionada à união das diagonais do pentágono, pertencente ao estudo da geometria do Pentagrama. O pentagrama, no decorrer da história da humanidade serviu de símbolo da religiosidade cristã e posteriormente para a cultura neopagã.

Amantes da cultura pagã, Michelangelo e Leonardo Da Vinci, utilizaram desta proporção em suas obras. Da Vinci dissecava cadáveres e media a proporção de seus corpos para identificar que o corpo humano é uma das únicas substâncias naturais que obedeciam a “Divina Proporção” - como pode ser visto em sua obra conhecida como O Homem Vitruviano.

Na sequência de fibonacci, a razão entre o maior e menor de dois números subsequentes tende a se aproximar daproporção áurea.

Esse é apenas um pequeno resumo, e para quem gostou e quer sabre mais sobre o tema, LEIA:

A HEGEMONIA ÁRABE

A civilização árabe surgiu no Oriente Médio, numa península desértica situada entre a Ásia e a África. Até o século VI, os árabes viviam em tribos, sem que houvesse um Estado centralizado. No interior da península havia tribos nômades de beduínos, que viviam basicamente do pastoreio e do comercio. Às vezes entravam em luta pela posse de um oásis ou pela liderança de uma rota comercial. Embora fossem politeístas e adorassem diversas divindades, os ídolos de todas as tribos estavam reunidos num templo, chamado Caaba, situado no centro de Meca.

MAOMÉ O PROFETA

™ Foi quem causou enormes transformações em seu povo e no mundo dos conhecimentos, nasceu por volta de 570, na poderosa tribo dos coraixitas. Começou aos 40 anos a pregar o islamismo, ou seja, a submissão total a Alá. . Escreveu o primeiro livro em árabe o Alcorão, foi perseguido pela cidade de Meca, fugindo assim para a cidade de Latride. Considerada assim a fuga para a hegemonia árabe através da pregação da guerra santa.

O Alcorão

Geometria

            

A álgebra de al-Khowarizmi revela inconfundíveis elementos gregos, mas as primeiras demonstrações geométricas têm pouco em comum com a geometria grega.  No século nove foi glorioso para a matemática árabe, no entanto se al-Khowarizmi se assemelha a Euclides, então Thabit era equivalente ao árabe de Papus, um comentador da matemática. Thabit fundou uma escola de tradutores para o árabe das obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio, Ptolomeu e Eutócio, al-Khowarizmi, conhecido assim como o pai da álgebra.

            Conhecia profundamente os clássicos que traduziu que sugeriu modificações e generalizações.
Deve-se a ele a fórmula para os números amigáveis, como também a generalização do Teorema de Pitágoras se aplicar a todos os triângulos. Além de vários trabalhos sobre segmento elípticos e parabólicos. Foi ainda o criador do quadrado mágico. É de sua autoria vários trabalhos sobre segmentos elípticos e parabólicos.

Conhecia profundamente os clássicos que traduziu que sugeriu modificações e generalizações.
Deve-se a ele a fórmula para os números amigáveis, como também a generalização do Teorema de Pitágoras se aplicar a todos os triângulos. Além de vários trabalhos sobre segmento elípticos e parabólicos. Foi ainda o criador do quadrado mágico. É de sua autoria vários trabalhos sobre segmentos elípticos e parabólicos.

A MATEMÁTICA HINDU

Por Prof. Ailton Feitosa

Bháskara Acharya nasceu em 1.114 na Índia em uma família tradicional de astrólogos indianos. Com uma orientação científica dedicada à matemática e a astronomia tornou-se diretor ainda jovem no Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia. Seu tratado de álgebra foi base para a álgebra da Europa após alguns séculos. Escreveu o Siddhanta-siromani aos 36 anos em 1.150 sobre assuntos astronômicos e o Bijaganita sobre álgebra o que o fez se tornar o matemático mais famoso da época.

No Bijaganita Bhaskara propõe equações quadráticas e diz que as duas soluções que podem ser encontradas são igualmente aceitáveis. No Siddhantasiromani, que é sobre astronomia matemática, Bhaskara traz alguns resultados interessantes de trigonometria, entre eles estão:

sen (a + b) = sen a . sen b + cos a .sen b

e

sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b

(CELESTINO; PACHECO, 2006).

Não se pode dizer que Bháskara descobriu a fórmula de Bháskara, pois as fórmulas só vieram a surgir 400 anos após sua morte. O fato é que no Bijaganita o que consta sobre as equações determinadas de 2º grau é cópia de outros escritos matemáticos. Nas equações indeterminadas do 2º grau teve grande contribuição exposta no referido livro em relação a invenção do método do chakravala e a modificação do método Kuttaka.

Influências ao pensamento de Bháskara

Bháskara ao continuar a obra de Brahmagupta e descobrir a solução geral da equação de pell px² +1=y², onde ele resolveu para p = 8,11,32,61 e 67 e a solução de um problema de divisão por zero afirmando também que este quociente seria infinito. Bhaskara tinha conhecimento de que a equação x²=9 tinha duas soluções, apresentando a seguinte regra:

A matemática hindu exerce considerável influência em todo o mundo. Os hindus tinham conhecimento da raiz quadrada e cúbica, podendo citar como exemplo os algarismos. Esse povo influenciou bastante a álgebra onde os problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição ou pelo método de inversão. Um exemplo de solução por inversão consta no livro Lilavati de Bhaskara que diz:

Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?

Nesse caso o método de inversão inicia no número 2 e se opera para trás. Quando Bhaskara pede a adição de 8 significa redução de 8, e divisão de 10 significa multiplicação por 10.

Os hindus contribuíram para a matemática com a função do seno na trigonometria. (BROWN. EDU, 2009). Os indianos inventaram o zero. Ao estudar os livros de matemática da Índia, o matemático al-Khowarizmi escreveu um livro chamado “sobre a arte hindu de calcular” explicando como funcionava os dez símbolos hindus. (EDUCAR, 2009).

A fórmula de Bháskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação de 2º grau. Ressalta-se que esta fórmula só recebe este nome no Brasil. Referências sobre a fórmula de Bháskara já havia sido encontrada em textos babilônicos há mais de 4.000 anos em tábuas cuneiformes. Na Grécia as equações de segundo grau eram resolvidas através de construções geométricas.

A MATEMÁTICA CHINESA

Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais antigo da matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre suas datas mais prováveis de escrita. A maior dificuldade em datar este documento ocorre porque foi escrito por várias pessoas, em períodos diferentes. O Chou Pei indica que na China a geometria originou-se da mensuração, assim como na babilônia, sendo um exercício de aritmética ou álgebra. Neste trabalho há indicações que os chineses conheciam o teorema de Pitágoras.

Outra publicação tão antiga quanto o Chou Pei, é o livro de matemática “Chui Chang Suan Shu” (Nove capítulos sobre a arte da matemática, em torno de 1200 a.c.). Entre vários assuntos abordados, chama a atenção problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Nesta mesma época os Gregos compunham tratados logicamente ordenados e expostos de forma sistemática. Os chineses seguiam a mesma linha babilônica, compilando coleções com problemas específicos. Assim como os Egípcios, os chineses alternavam, em seus experimentos, resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados. Nesta publicação aparecem soluções de sistemas lineares com números positivos e negativos.

Como os chineses gostavam de resolver sistemas, os diagramas foram muito utilizados por eles. É interessante observar que o quadrado mágico teve seu primeiro registro efetuado por este povo, mesmo que sua origem é mais antiga, porém desconhecida.

Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários problemas, que impediram sua continuidade e aprimoramento. Em 213 a.c. o imperador da China mandou queimar os livros existentes. Mesmo que algumas cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX, Mao-Tsé-Tung, com sua “Revolução Cultural” também promoveu uma queima generalizada de livros, considerados “subversivos”.

Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem que houve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes das conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar a idade deste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação posicional.

Esta notação em barras não era simplesmente utilizada em placas de calcular (escrita). Barras de bambu, marfim ou de ferro eram carregadas em sacolas pelos administradores para que os cálculos fossem efetuados. Este método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco, soroban ou suan phan.

Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando o m.d.c. Trabalhavam com números negativos por meio de duas coleções de barras (vermelha para os coeficientes positivos e preta para os negativos), porém não aceitavam números negativos como solução de uma equação.

A matemática chinesa é tão diferente da matemática de outros povos da mesma época que seu desenvolvimento ocorreu de forma independente.Lui Hui, no terceiro século, determinou um valor para Pi utilizando, primeiro um polígono regular com 96 lados (3,14) e depois utilizando um polígono regular com 3072 lados (3,14159).

O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século XIII durante o fim do período Sung. Nesta época foi descoberta a impressão, a pólvora, o papel e a bússola. Obras chinesas desta época influenciaram fortemente a Coréia e o Japão. Muitas desta obras desapareceram da China neste período, reaparecendo apenas no século XIX.

Yang Hui (1261 – 1275), matemático talentoso trabalhou com séries numéricas e apresentou uma variação chinesa para o triângulo de Pascal.

Sabe-se que a partir da idade média na Europa, a matemática chinesa não tinha realizações que se comparassem às européias e do oriente próximo. Possivelmente a China absorvia mais matemática do que enviava. Possivelmente as ciências chinesas e hindus sofreram influências mútuas durante o primeiro milênio de nossa era.

ARQUIMEDES DE SIRACUSA

Por Thais Pacievitch

Arquimedes nasceu em Siracusa, atual Itália, no ano 287 a.C. Foi um matemático, engenheiro, físico, inventor e astrônomo grego, filho de um astrônomo, que provavelmente o apresentou à matemática. Arquimedes estudou em Alexandria, onde teve como mestre Canon de Samos e, assim, entrou em contato com Erastótenes. A este último Arquimedes dedicou seu método, no qual expôs sua genial aplicação da mecânica à geometria, desta maneira, “pesava” imaginariamente áreas e volumes desconhecidos para determinar seu valor. Voltou logo a Siracusa, onde se dedicou totalmente ao trabalho científico.

Da biografia de Arquimedes, o maior matemático da antiguidade, a quem Plutarco creditou uma inteligência bem acima do normal, somente é conhecida uma série de anedotas. A mais divulgada é aquela relatada por Vitrúvio e se refere ao método que utilizou para comprovar se existiu fraude na confecção de uma coroa de ouro pedida por Hierão II, tirano de Siracusa e protetor de Arquimedes, quem sabe, até seu parente. Ao tomar banho, Arquimedes percebeu que a água transbordava da banheira, na medida em que mergulhava nela. Esta observação lhe permitiu resolver a questão que lhe havia sido proposta pelo tirano. Conta-se que ao descobrir como detectar se a coroa era ou não de ouro, tomado de tanta alegria, partiu correndo nu pelas ruas de Siracusa em direção à casa de Hierão gritando “Eureka!, Eureka!”, ou seja, descobri!, descobri!

Segundo outra anedota famosa, contada por Plutarco, Arquimedes assegurou ao tirano que, se lhe dessem um ponto de apoio, conseguiria mover a terra. Acredita-se que, incentivado pelo rei a pôr em prática o que dizia, Arquimedes, com um complexo sistema de roldanas, pôs em movimento, sem esforço, um grande navio com três mastros e totalmente carregado.

São famosas as diversas invenções bélicas de Arquimedes que, segundo se acredita, ajudaram Siracusa a resistir, durante três anos, ao assédio romano, antes de cair nas mãos das tropas de Marcelo.

Dentre seus mais famosos livros podemos citar: Equilíbrios Planos, onde fundamentou a lei da alavanca, deduzindo-a por meio de poucos postulados, determinou o centro de gravidade de paralelogramos, trapézios, retângulos e de um segmento de parábola; Sobre a Esfera e o Cilindro, aqui Arquimedes utilizou um método conhecido como exaustão, precedente do cálculo integral, para determinar a superfície de uma esfera e para estabelecer a relação entre uma esfera e o cilindro circunscrito nela.

Arquimedes foi morto (212 a.C.) por um soldado romano ao recusar-se a abandonar um problema matemático no qual estava imerso.

EUCLIDES DE ALEXANDRIA - O pai da Geometria

Por Ana Lucia Santana

Euclides  de Alexandria, mestre, escritor de origem provavelmente grega, matemático da escola platônica, e conhecidocomo o Pai da Geometria, nasceu na Síria  aproximadamente em 330 a.C. e realizou seus estudos em Atenas. Ele é até hoje, na história da Matemática, considerado como um dos mais significativos estudiosos deste campo na antiga Grécia. Não se sabe muito sobre sua trajetória existencial, pois nunca se falou demais acerca de sua vida pessoal. Ele foi convidado a lecionar Matemática na escola instituída em Alexandria por Ptolomeu Sóter ou Ptolomeu I, que governou o Egito de 323 a.C. a 283 a.C. Nesta instituição, também conhecida como ‘Museu’, ele conheceu a influência ao se destacar entre os demais professores pelo método utilizado em suas aulas de Geometria e Álgebra. Sua fama indicava que ele tinha um grande potencial para explanar as disciplinas que ministrava.

O que se sabe sobre Euclides foi extraído de textos elaborados muitos séculos após sua passagem pelo Planeta, principalmente os escritos por Proclo e Pappus de Alexandria. O primeiro se refere ao matemático como o criador da clássica obra Os Elementos, anteriormente citada porArquimedes. A teoria aí desenvolvida é uma das mais importantes na trajetória da Matemática, o que levou este livro a ser adotado como prioridade nas aulas desta disciplina, particularmente as de geometria, desde o momento em que foi lançado até fins do século XIX ou princípio do século XX. Esta doutrina se tornou conhecida como Geometria Euclidiana; seus conceitos foram inferidos de um pequeno grupo de axiomas – proposições consideradas consensuais, sem necessidade de provas; eles são essenciais para a elaboração de um corpo teórico. Os Elementos foram compostos como uma obra textual, dividida em treze volumes – cinco abordam a geometria plana; três enfocam os números; um destaca a teoria das proporções; um tem como núcleo central os incomensuráveis; e os três finais discorrem sobre a geometria no espaço. A Geometria de Euclides se distingue por apresentar um espaço que não se modifica em momento algum, revela estrita simetria – se uma relação for verdadeira para a e b tomados nesta ordem, também o será para b e a tomados nesta ordem – e configuração geométrica. Esta teoria é uma representação simbólica do conhecimento clássico, o qual atravessou a Idade Média e o Renascimento bem conservado, e apenas na era moderna o modelo euclidiano foi substituído por outras geometrias. Euclides elaborou também obras que abordam temas como perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Sua esfera de criação é tão ampla que alguns pesquisadores chegaram a acreditar que os trabalhos a ele atribuídos não pertencessem a um único ser. As elaborações matemáticas que foram preservadas até nossos dias foram primeiramente traduzidas para a língua árabe, posteriormente para o latim e, a partir desta base linguística, foram vertidas para outros idiomas do continente europeu. Assim como seu nascimento, sua morte também foi envolta em mistério, e suas datas só podem ser obtidas através de cálculos aproximados.